2. 행렬 대수 : 행렬의 전치와 단위행렬

전치행렬

전치행렬은 주어진 행렬의 행들과 열들을 맞바꾼 것을 말한다.

따라서 m*n 행렬의 전치는 n*m 이고, 행렬 M의 전치행렬을

$$ M^{T} $$

으로 표기한다.

 

예를들어, 행렬 A의 전치행렬 At는 다음과 같다.

$$ A = \begin{bmatrix}
 1& 3 & 8 \\
4 & -5 & 9 \\
\end{bmatrix} $$

 

$$ A^{T} = \begin{bmatrix}
 1&4\\
 3&  -5\\
 8&  9\\
\end{bmatrix} $$

 

 

전치행렬의 속성

전치행렬에는 다음과 같은 유용한 속성이 있다.

$$ 1. (A+B)^{T} = A^{T} + B^{T} $$

$$ 2. (cA)^{T} = cA^{T} $$

$$ 3. (AB)^{T} = B^{T}A^{T} $$

$$ 4.(A^{T})^{T} = A $$

$$ 5. (A^{-1})^{T} = (A^{T})^{-1} $$

 

 

단위행렬

단위행렬은 주대각 성분들만 1이고 나머지는 모두 0인 정방행렬(정사각행렬)이다.

여기서 주대각 성분이란, 행렬의 원소 aij중 i=j 인 원소로,

한마디로 대각선에 있는 성분을 말한다. ^_____^

 

예를들어, 다음과 같은 단위행렬들이 있다.

\begin{bmatrix}
 1&  0\\
 0&  1\\
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 &  0\\
0 & 0 &  1\\
\end{bmatrix} ,
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 &  1& 0 & 0 \\
 0& 0 &  1& 0 \\
0 &0  &0  &  1\\
\end{bmatrix} 

순서대로 2*2, 3*3, 4*4 단위행렬들이다.

 

단위행렬은 곱셈의 항등원 역할을 한다.

어떤 행렬에 단위행렬을 곱해도 그 행렬은 변하지 않고, 

일반적인 1과 같은 역할을 한다.

 

그리고, 단위행렬과의 곱에서 행렬 M이 정방행렬이라면,

단위행렬과의 곱셈은 교환법칙을 만족한다.