2. 행렬 대수 : 행렬의 전치와 단위행렬

전치행렬

전치행렬은 주어진 행렬의 행들과 열들을 맞바꾼 것을 말한다.

따라서 m*n 행렬의 전치는 n*m 이고, 행렬 M의 전치행렬을

$$M^T$$

으로 표기한다.

 

예를들어, 행렬 A의 전치행렬 At는 다음과 같다.

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 4& -5& 9\end{array}\right]$$

 

$$A^T=\left[\begin{array}{cc}1& 4\\ 3& -5\\ 8& 9\end{array}\right]$$

 

 

전치행렬의 속성

전치행렬에는 다음과 같은 유용한 속성이 있다.

$$1.(A+B{)}^T=A^T+B^T$$

$$2.(cA{)}^T=c{A}^T$$

$$3.(AB{)}^T=B^T{A}^T$$

$$4.(A^T{)}^T=A$$

$$5.(A^{-1}{)}^T=(A^T{)}^{-1}$$

 

 

단위행렬

단위행렬은 주대각 성분들만 1이고 나머지는 모두 0인 정방행렬(정사각행렬)이다.

여기서 주대각 성분이란, 행렬의 원소 aij중 i=j 인 원소로,

한마디로 대각선에 있는 성분을 말한다. ^_____^

 

예를들어, 다음과 같은 단위행렬들이 있다.

$$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$,
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$ ,
$$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$ 

순서대로 2*2, 3*3, 4*4 단위행렬들이다.

 

단위행렬은 곱셈의 항등원 역할을 한다.

어떤 행렬에 단위행렬을 곱해도 그 행렬은 변하지 않고, 

일반적인 1과 같은 역할을 한다.

 

그리고, 단위행렬과의 곱에서 행렬 M이 정방행렬이라면,

단위행렬과의 곱셈은 교환법칙을 만족한다.