1. 벡터 대수 : 내적

벡터의 내적

내적은 스칼라 값을 내는 벡터 곱셈의 일종이다.

u = (ux,uy,uz), v = (vx,vy,vz) 라고 할때, 내적은 다음과 같다.

u·v = ux·vx + uy·vy + uz·vz

 

이런 정의만 봐서는 내적의 기하학적 의미가 분명하지 않지만,

u·v = ||u|| ||v|| cosθ 로 보면

내적이 두 벡터 사이각의 코사인을 벡터 크기들로 비례시키 것임을 알 수 있다.

특히 벡터 u와 v가 단위벡터일 때, u와 v의 내적은 두 벡터 사이각도의 코사인이다. (즉 u·v=cosθ)

 

따라서 다음과 같은 유용한 기하학적 속성들을 이끌어 낼 수 있다.

1. u·v = 0 이라면, 두 벡터는 직교한다. (cosθ =0이라면 θ= 90도이니깐)
2. u·v > 0 이라면, θ는 90도보다 작다.
3. u·v < 0 이라면, θ는 90도보다 크다.

 

직교투영

 

위와 같이 벡터 v와 단위벡터 n이 주어졌을때, p를 n에 대한 v의 직교투영이라고 한다.내적을 통해 p =(v·n)n으로 표현할 수 있다.

 

좀 찾아보니깐 카메라에서 원근 투영을 통해 원근감을 만드는데,

z값에 따라 원근비율이 적용된다고 한다.

하지만 UI와 같이 원근감이 적용되면 안되는 객체가 있고,

이때 직교투영을 통해 z값에 상관없이 x,y 값을 그대로 보존하면서 투영할 수 있다!

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직교화

벡터들의 집합이 주어졌을때, 그 벡터들이 서로 직교이고 단위길이라면

그 벡터집합을 정규직교 집합이라고 부른다.

또한 벡터 집합을 직교벡터 집합으로 만드는 것을 직교화(orthonormal)라고 부른다.